ماتریس مربعی با ابعاد $N$ در $N$ و درایه‌هایی از اعداد صحیح موجود است. منظور از زیرماتریس بیشینه، زیرماتریسی از ماتریس مفروض است که مجموع عناصر آن بزرگتر یا مساوی مجموع عناصر هر زیرماتریس دیگر آن است.
به عنوان مثال، برای ماتریس زیر:
\[ \begin{matrix} 0 & -2 & -7 & 0 \\ 9 & 2 & -6 & 2 \\ -4 & 1 & -4 & 1 \\ -1 & 8 & 0 & -2 \end{matrix} \]
زیرماتریس بیشینه به این ترتیب خواهد بود:
\[ \begin{matrix} 9 & 2 \\ -4 & 1 \\ -1 & 8 \end{matrix} \]
برنامه‌ای بنویسید که مجموع عناصر زیرماتریس بیشینه را چاپ کند.
ورودی برنامه
[برگرد بالا]
اولین سطر ورودی شامل عدد $N$ (نابیشتر از 100) است. در سطرهای بعدی تعداد $N^2$ عدد صحیح قرار دارند که عناصر ماتریس مفروض را با نمایش سطری مشخص می‌کنند. یعنی $N$ عدد اول مربوط به سطر اول ماتریس است و الی آخر.
4
0 -2 -7 0 9 2 -6 2
-4 1 -4 1 -1
8 0 -2
خروجی برنامه
[برگرد بالا]
خروجی شامل مجموع عناصر زیرماتریس بیشینه خواهد بود.
15
منبع: وب‌سایت UVa Online Judge -
مسئله Maximum Sum
حل مسئله
[برگرد بالا]
فرض کنید منظور از (Sum(R1, C1, R2, C2 مجموع عناصر زیرماتریسی است که در سطرهای R1 تا R2 و ستون‌های C1 تا C2 قرار دارد. به عنوان مثال (Sum(0, 0, N - 1, N - 1 مجموع تمام عناصر از سطر اول تا آخر و ستون اول تا آخر است که همان مجموع کل عناصر ماتریس می‌شود. با این تعریف، هدف یافتن مقدار خروجی بیشینه برای تابع Sum با توجه به ورودی‌های مختلف آن است.
ساده‌ترین راه برای حل این مسئله بررسی تمام زیرماتریس‌ها و محاسبه مجموع عناصر آنها است:
int main()
{
int n, i, j, k, l, a, b, s, maxSum, matrix[100][100];
cin >> n;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
for(j = 0 ; j < n ; j++){
cin >> matrix[i][j];
}
}
maxSum = matrix[0][0];
for(i = 0 ; i < n ; i++){
for(j = 0 ; j < n ; j++){
for(k = i ; k < n ; k++){
for(l = j ; l < n ; l++){
s = 0;
for(a = i ; a <= k ; a++){
for(b = j ; b <= l ; b++){
s += matrix[a][b];
}
}
if(s > maxSum){
maxSum = s;
}
}
}
}
}
cout << maxSum << endl;
return 0;
}
این روش محاسبه مستقیم با توجه به شش حلقه تکرار تو در تو از مرتبه اجرای $ O(N^6)$ است که برای Nهای بزرگ کارایی نداشته و با خطای Time limit exceeded مواجه خواهد شد.
علت این مشکل در محاسبات تکراری موجود در این روش نهفته است. به عنوان مثال، برای محاسبه (Sum(2, 3, 5, 7 قطعه کد فوق تمام عناصر بین سطرهای 2 و 5 و ستون‌های 3 و 7 را جمع می‌زند. در مرحله بعد (Sum(2, 3, 5, 8 محاسبه می‌شود که تمامی عناصر بین سطرهای 2 تا 5 و ستون‌های 3 تا 8 جمع زده می‌شوند؛ یعنی محاسبه تابع با این ورودی‌ها یکبار دیگر به طور کامل محاسبه تابع قبلی را انجام داده و تنها عناصر سطرهای 2 تا 5 مربوط به ستون 8 را اضافه می‌کند. این محاسبات تکراری برای $N$-های بزرگی مانند 100 سربار زمانی بسیار زیادی تولید می‌کند.
کلید حل معما در این است که بدانیم:
Sum(R1, C1, R2, C2) = Matrix[R2][C2] + Sum(0, 0, R2 - 1, C2) + Sum(0, 0, R2, C2 - 1) - Sum(0, 0, R2 - 1, C2 - 1) - Sum(0, 0, R1 - 1, C1) - Sum( 0, 0, R1, C1 - 1) + Sum(0, 0, R1 - 1, C1 - 1)
اثبات این رابطه به عنوان یک تمرین خوب به خواننده واگذار می‌شود. در این رابطه محاسبه تابع Sum به جمع زدن عنصر سطر R2 و ستون C2 با شش محاسبه بازگشتی از خود تابع Sum تبدیل می‌شود. ویژگی اصلی این شش تابع در این است که دو پارامتر اول آنها همواره صفر هستند. یعنی در کل به صورت (Sum(0, 0, a, b هستند که مجموع عناصر ماتریس از ابتدای آن تا سطر a و ستون b خواهد بود. محاسبه چنین عباراتی با دو حلقه تکرار تو در تو با مرتبه اجرایی $ O(N^2)$ میسر است. نتایج این محاسبات برای استفاده در مرحله بعدی در محل جداگانه‌ای ذخیره می‌شود.
به همین ترتیب می‌توان از رابطه زیر نیز استفاده کرد که عملیات کمتری نیاز دارد:
Sum(R1, C1, R2, C2) = Sum(0, 0, R2, C2) - Sum(0, 0, R2, C1 - 1) - Sum(0, 0, R1 - 1, C2) + Sum(0, 0, R1 - 1, C1 - 1 )
پس از اتمام محاسبات مرحله اول، به سراغ محاسبه تمامی حالات (Sum(R1, R2, C1, C2 می‌رویم تا مقدار آن به ازای زیرماتریس بیشینه به دست بیاید. تولید مختصات هر زیرماتریس با چهار حلقه تو در تو امکان‌پذیر است که سطرهای ابتدا و انتها و ستون‌های ابتدا و انتها را مشخص می‌کنند. در داخل این حلقه‌ها مقدار (Sum(R1, R2, C1, C2 بر اساس رابطه فوق و مقادیر ذخیره شده در حافظه محاسبه شده و در نهایت بیشترین آنها به عنوان زیرماتریس بیشینه مشخص می‌شود.
چنین الگوریتمی با توجه به چهار حلقه تکرار تو در تو از مرتبه $O( N^4)$ است که در مقایسه با مرتبه $O( N^6)$ بهبود چشم‌گیری دارد. البته می‌توان الگوریتم را طوری پیاده‌سازی کرد که عملیات ذخیره مقادیر (Sum(0, 0, a, b و محاسبات نهایی به صورت همزمان انجام شود. در این حالت سربار $ O( N^2 )$ نیز از ابتدای الگوریتم حذف می‌شود.