الگوریتمستان - مسئله چراغ راهنمایی

یک چراغ راهنمایی در مسیر گردش از بزرگراه به یک مرکز فروش بزرگ تعبیه شده است. عملکرد این چراغ به گونه‌ای است که در هر دقیقه حداکثر k خودرو امکان گردش از بزرگراه به سمت مسیر مرکز را دارند. در پایان هفته شهروندان بیشتری برای خرید به این مرکز مراجعه می‌کنند که باعث بالا رفتن حجم ترافیک می‌شود. مدیران مرکز سفارش نصب دوربین ویژه‌ای در نزدیکی آن محل را داده‌اند که امکان شمارش تعداد خودروهای وارد شده از سمت شهر به محل گردش به مرکز فروش را دارد.

عملکرد دوربین از n دقیقه قبل آغاز شده است. شما باید با توجه به اطلاعات ارسال شده از طریق این دوربین، تعداد خودروهایی را که در حال حاضر پشت چراغ راهنمایی متوقف شده‌اند محاسبه کنید.

  

ورودی برنامه

  [برگرد بالا]

خط اول شامل اعداد k و n است که حداکثر خودروهای قابل گذر از چراغ راهنمایی در هر دقیقه و میزان دقایق سپری شده از شروع به کار دوربین را مشخص می‌کنند. خط دوم شامل n عدد a₃ ،a₂ ،a₁، ... و a_n است. منظور از a_i تعداد خودروهای نزدیک شده به محل گردش در دقیقه iام است.

دوربین نیز کار خود را از صبح آغاز می‌کند که عبور خودروها آغاز می‌شود.

5  3

6  7  2

  

خروجی برنامه

  [برگرد بالا]

تعداد خودروهایی که در حال حاضر پشت چراغ متوقف هستند.

0

  

منبع: وب سایت Timus Online Judge - مسئله Turn for MEGA

  

حل مسئله

  [برگرد بالا]

ابتدا نمونه ارائه شده را بررسی می‌کنیم. در سطر اول ورودی اعداد k = 5 و n = 3 داده شده‌اند. یعنی در هر دقیقه حداکثر 5 خودرو امکان گردش به مسیر مرکز فروش را دارند و 3 دقیقه از زمان شروع مشاهده توسط دوربین می‌گذرد. در این دقایق به ترتیب 5، 7 و 2 خودرو به محل گردش نزدیک شده‌اند. تمامی 5 خودروی دقیقه اول در همان دقیقه از گذر عبور می‌کنند. 5 خودرو از 7 خودروی دقیقه دوم در دقیقه دوم گذر کرده و 2 خودرو پشت چراغ منتظر می‌مانند. این 2 خودرو در دقیقه سوم به همراه 2 خودروی جدید دیگر که به تازگی به آن محل آمده‌اند، به سمت مرکز فروش حرکت می‌کنند. بنابراین در پایان هیچ خودرویی در محل گردش نخواهد بود. به همین دلیل عدد صفر به عنوان خروجی چاپ شده است.

اگر سطر دوم ورودی به ترتیب زیر باشد:

  

20  0  0

  

در دقیقه اول 5 خودرو عبور کرده و 15 خودرو باقی می‌مانند. در دقیقه دوم 5 خودروی دیگر عبور کرده و 10 خودرو باقی می‌مانند. بالاخره در دقیقه سوم 5 خودروی دیگر حرکت کرده و تنها 5 خودرو باقی خواهند ماند. به این ترتیب خروجی عدد 5 خواهد بود.

یک راه حل را می‌توان به این ترتیب مطرح کرد که در هر دقیقه k خودرو امکان عبور دارند. پس در n دقیقه nk خودرو امکان گردش به سمت مرکز فروش را خواهند داشت. اگر این عدد را از مجموع تمام خودروهای وارد شده به محل گذر کم کنیم، تعداد خودروهای باقیمانده مشخص می‌شود. در نمونه اول 14 خودرو در 3 دقیقه وارد شده‌اند که از مقدار nk = 15 کمتر است. یعنی تمامی خودروها امکان عبور دارند. در نمونه دوم 20 خودرو وارد گذر شده‌اند که در پایان 5 خودرو باقی می‌ماند. این عدد همان اختلاف 20 و حاصلضرب اعداد k و n است.

اما مسئله به این سادگی نیست. بر اساس توضیحات بند قبلی، اگر ترتیب اعداد سطر دوم ورودی نمونه عکس شود، خروجی نباید تغییر کند. چرا که مقدار k، n و مجموع خودروهای وارد شده تغییری نکرده است.

  

5  3

2  7  5

  

در دقیقه اول 2 خودرو وارد می‌شوند که بدون هیچ مشکلی از گذر عبور می‌کنند. در دقیقه دوم 7 خودرو وارد می‌شوند که 2 خودرو ناچار به توقف هستند. در دقیقه سوم این 2 خودرو با 3 خودروی دیگر از 5 خودروی تازه وارد شده از گذر عبور کرده و 2 خودرو در پشت چراغ باقی می‌مانند. پس در انتها عدد خروجی 2 خواهد بود.

این تناقض از اینجا ناشی می‌شود که زمان ورود خودروها نیز بسیار اهمیت دارد. در حالی که راه حل اولیه تنها تعداد خودروها را مد نظر قرار می‌دهد. چاره کار ثبت تعداد خودروهای پشت چراغ در انتهای هر دقیقه است.

اگر در انتهای دقیقه iام تعداد خودروهای پشت چراغ rem_i باشد، در دقیقه (i+1)ام تعداد a_i+1 خودرو به آنها اضافه شده و k خودرو کم خواهد شد. پس در انتهای آن دقیقه rem_i + a_i+1 - k خودرو پشت چراغ قرار دارند. این عدد همان rem_i+1 است. اگر این عدد منفی باشد، به معنی آن است که ظرفیت عبور بیش از تعداد خودروی موجود بوده است. پس هیچ خودرویی پشت چراغ باقی نمانده است. در این حالت هم باید عدد منفی را با صفر جایگزین کنیم. با پیش رفتن مراحل برای هر دقیقه، rem_n همان خروجی مسئله است. مقدار rem₀ نیز همواره صفر است.

به عنوان مثال در نمونه اولیه مسئله:

  

rem₁ = rem₀ + a₁ - k = 0 + 5 - 5 = 0

rem₂ = rem₁ + a₂ - k = 0 + 7 - 5 = 2

rem₃ = rem₂ + a₃ - k = 2 + 2 - 5 = -1 < 0    ,    rem₃ = 0

  

در نمونه دوم:

  

rem₁ = rem₀ + a₁ - k = 0 + 20 - 5 = 15

rem₂ = rem₁ + a₂ - k = 15 + 0 - 5 = 10

rem₃ = rem₂ + a₃ - k = 10 + 0 - 5 = 5

  

و در مثال آخر:

  

rem₁ = rem₀ + a₁ - k = 0 + 2 - 5 = -3 < 0    ,    rem₁ = 0

rem₂ = rem₁ + a₂ - k = 0 + 7 - 5 = 2

rem₃ = rem₂ + a₃ - k = 2 + 5 - 5 = 2