الگوریتمستان - سینوس و کسینوس را قورت بده

یکی از چالش‌های مهم دوران دبیرستان به یاد داشتن مقدار سینوس و کسینوس زوایای مشهور بوده و هست. در این راستا روش‌هایی مانند محاسبه به کمک دست و تا کردن انگشتان پیشنهاد شده است که هر کدام از انگشتان نماد یک زاویه هستند. اما چنین روش‌هایی خود نیازمند به یاد داشتن قوانین آن است که باعث بالا رفتن احتمال خطا می‌شود.

جدول زیر الگوی ساده موجود در مقدار سینوس و کسینوس زوایای مشهور را نشان می‌دهد که به سادگی در ذهن می‌ماند.

به عبارت دیگر سینوس صفر، سینوس 30، سینوس 45، سینوس 60 و سینوس 90 به ترتیب با قرار دادن اعداد صفر تا چهار در یک رابطه‌ی مشخص به دست می‌آید و همینطور برای کسینوس صفر، کسینوس 30، کسینوس 45، کسینوس 60 و کسینوس 90 از اعداد چهار تا صفر در همان رابطه استفاده می‌شود.

سینوس و کسینوس زاویه‌های 37 و 53

به غیر از زوایای مشهور فوق، مقادیر سینوس و کسینوس دو زاویه‌ی 37 و 53 (که متمم هم هستند) نیز در مسائل زیاد استفاده می‌شوند. سینوس 37 (یا کسینوس 57) در دقت دو رقم اعشار عدد 0.6 و کسینوس 37 (یا سینوس 57) در دقت دو رقم اعشار 0.8 است

چرا سینوس 90 درجه یک است؟

ما معمولا مفهوم سینوس و کسینوس یک زاویه را با مثالی از یک مثلث قائم‌الزاویه مانند تصویر زیر یاد می‌گیریم.

در این شکل سینوس زاویه‌ی A برابر نسبت طول ضلع روبرو بر طول وتر و کسینوس این زاویه برابر طول ضلع مجاور بر طول وتر است.

\[ sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} \] \[ cos(A) = \frac{|AB|}{|AC|} \]

با این تعریف چطور سینوس 90 محاسبه می‌شود؟ چطور ممکن است زاویه‌ی A هم 90 درجه باشد؟ سینوس زاویه‌ی 135 درجه چگونه محاسبه شده است؟ آیا می‌توان مثلثی رسم کرد که زاویه‌ی B قائم و زاویه‌ی A هم 135 درجه باشد؟ مجموع این دو زاویه بیش از 180 درجه است و قطعا نمی‌توان چنین مثلثی ساخت.

فرض کنید همان مثلث به صورت زیر در دستگاه مختصات دکارتی رسم شود.

در نمایش زیر نقاط E و F تصویر نقطه‌ی C روی دو محور هستند . پس می‌توان از AF به جای BC و از AE به جای AB (که در اینجا یکی هستند) استفاده کرد. از طرف دیگر، چون A در مبدا مختصات قرار دارد، طول این تصویرها برابر موقعیت نقطه‌های انتهایی (یعنی E یا F) است.

\[ sin(A) = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{|AF|}{|AC|} = \frac{F}{|AC|}\] \[cos(A) = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{E}{|AC|} \]

حال فرض کنیم A یک زاویه‌ی منفرجه باشد.

و به این ترتیب باز هم می‌توانیم تصویر AC را روی دو محور به دست آورده و از آنها برای محاسبه‌ی سینوس و کسینوس این زاویه استفاده کنیم.

\[ sin(A) = \frac{F}{|AC|} > 0\] \[ cos(A) = \frac{E}{|AC|} < 0 \]

به عبارت دیگر، برای محاسبه‌ی سینوس و کسینوس یک زاویه، نیاز نیست حتما یکی از زاویه‌ها 90 درجه باشد و چون ممکن است F یا E در سمت منفی محورشان باشند، عدد سینوس یا کسینوس نیز قابلیت منفی شدن دارند. با تعریف اولیه‌ای که بر اساس تقسیم طول ضلع بر طول وتر بود (تقسیم دو عدد همواره نامنفی)، میزان سینوس یا کسینوس هرگز منفی نمی‌شود.

به همین ترتیب اگر اندازه‌ی زاویه‌ی A برابر 90 درجه باشد، اندازه‌ی AC با تصویر خود روی محور عمودی (یعنی AF) یکی شده و اندازه‌ی تصویر آن روی محور افقی صفر می‌شود (چرا؟!).

به همین دلیل سینوس 90 درجه یک و کسینوس 90 درجه صفر است.

\[ sin(90) = \frac{F}{|AC|} = \frac{C}{|AC|} = 1 \] \[  cos(90) = \frac{E}{|AC|} = \frac{0}{|AC|} = 0 \]